契約締結の前に契約金を振り込んでしまうことは便宜上あるかもしれません。 ただ、お客様が契約内容を実質的に了承していることが前提となります。
先に契約する旨をお伝えいただけば思います。

基本的には変わる前に前管理会社から書類が届きます。
新しい管理会社は保証会社などにお聞きすれ教えていただけます。

退去の意思は、契約で定められた期間内に大家さんも敷くは管理会社へ解約通知書で申し出て下さい。一般的に解約通知は、住居1～3ヶ月前、テナント・事務所等は3～6ヶ月となっています。予め契約書で確認をしましょう。通知期間を過ぎて退去通知をした場合、新居と旧居の2部屋分の家賃を支払わねばならなくなりますので注意しましょう。

新規に部屋を貸す場合、他の部屋の家賃に関係なく貸す時の市況に応じて家賃を決めることが一般的です。もともと家賃に適正家賃という考え方はあまりありません。つまり賃貸契約とは最終的に貸主と借主との間で決められるものです。周辺相場より高い家賃でも借主が同意して契約をすればそれがその家賃となります。これは法律上違法でもなく、周辺相場からかけ離れた家賃を設定することはありませんので仕方のないこととご理解ください。